Mathematischer Anhang
Kapitel 5: Der Krümmungstensor
Der Riemannsche Krümmungstensor (4) spielt eine solch herausragende Rolle in der Einsteinschen Gravitationstheorie, daß hier eigens die beiden wesentlichen Meßvorschriften angeführt werden sollen.
Die Parallelverschiebung eines Vektors entlang einer fest vorgegebenen Kurve ist durch die Vorschrift gegeben:
(12) 
Zur Notation: der Strichpunkt (vor dem beta) bedeutet die kovariante Ableitung nach der dem Strichpunkt folgenden Koordinate.
Wie an der Gleichung ersichtlich, ist die Geodätengleichung (2) selbst ein Beispiel eines Paralleltransportes, insbesondere wird nämlich der Tangentenvektor
einer Geodäten parallel zu sich selbst transportiert.
(Auf diese Weise kann auch eine Geodäte definiert werden.)
Geben wir uns nun eine Geodätenschar 
vor. Der Scharparameter n unterscheidet die Geodäten voneinander.
Für ein festes n ist eine Geodäte mit dem affinen Parameter 
und dem Tangentenvektor
.
Der Vektor
.
mißt den Abstand zweier benachbarter Geodäten (desselben Wertes von ).
Wir erhalten ein Maß für das Verhalten des Abstandes zweier Geodäten, wenn wir den Gleichung (12) verwenden:
(13) 
Diese Herleitung gibt uns die Definitionsgleichung für den Riemannschen Krümmungstensor.
Realisieren wir nun zwei ursprünglich parallele Geodäten durch zum Beispiel zwei Testkörper, die im Gravitationsfeld der Erde frei fallen.
Dann bekommen wir mit der Gleichung (13) die Relativbeschleunigung der beiden Körper zueinander.
Wir können dann den affinen Parameter mit der Eigenzeit 
identifizieren.
Der Zusammenhang (13) heißt geodätische Abweichung.
Die geodätische Abweichung besitzt also wie der Krümmungstensor die koordinatenunabhängige Eigenschaft, nur im Minkowski-Raum zu verschwinden.
In der Newtonschen Näherung läßt sich der Zusammenhang (13) auf die Gleichung zurückführen:
Der zweite Term beschreibt die Gezeitenkräfte. Die Krümmung der Raumzeit zeigt sich in der Newtonschen Näherung also in den Gezeitenkräften.