Mathematischer Anhang

Kapitel 4c: Lichtablenkung in der Newtonschen Metrik

Wie bei der Schwarzschild-Metrik setzen wir ds quadrat verschwindet, woraus für die vorgegebene Metrik folgt:
Newtonsche Metrik mit verschwindendem ds quadrat
(vgl. hierzu die analoge Gleichung in Kapitel 3c: Lichtablenkung in der Schwarzschild-Metrik)

Wir erhalten damit die Differentialgleichung:
Differentialgleichung

Wie schon erwähnt, sind im Minkowski-Raum die Lösungen Geraden, die in unserer Koordinatenwahl gegeben sind durch
Lösungen im Minkowski-Raum
mit dem Abstand D vom Zentrum (r = 0). Sie laufen für phi gleich phi null bzw. phi gleich phi null plus pi ins Unendliche.
Wir setzen auch hier diese Lösung in die rechten Terme ein und erhalten

Gleichung

Bei geeigneter Wahl von phi null folgt daraus die Lösungsschar
Lösungen in der Newtoschen Metrik
Wir multiplizieren diese Lösung mit r · D:

Lösungen in der Newtoschen Metrik
bzw. Lösungen in der Newtoschen Metrik in rechtwinkligen Koordinaten.

Der zweite Term zu D mißt die (sehr geringe) Abweichung von der Geraden, die Asymptoten finden wir für große y. Der kleine Winkel zwischen den Asymptoten wird damit (im Bogenmaß) zu
delta phi
Dies ist gerade die Hälfte des Einsteinschen Wertes in der Schwarzschild-Metrik.
(vgl. hierzu Kapitel 3c: Lichtablenkung in der Schwarzschild-Metrik )

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Die Allgemeine Relativitätstheorie, leicht verständlich erzählt - © Martin Kornelius 2016