Mathematischer Anhang
Kapitel 3b: Bewegung in der Schwarzschild-Metrik
Zum Vergleich mit den ("altbekannten") Bewegungsgleichungen der Newtonschen Lösung in Kapitel 4 (vgl. Kapitel 4b: Bewegung in der Newtonschen Metrik) soll hier die Bewegung in der Schwarzschild-Metrik vorgestellt werden.
Wir erhalten die gesuchten Bewegungsgleichungen als Euler-Lagrange-Gleichungen
indem wir in die Lagrangefunktion L die Schwarzschild-Metrik (8) einsetzen:
Die Anfangsbedingungen 
und 
können wir durch geeignete Drehung des Koordinatensystems erreichen.
Wie aus den Euler-Lagrange-Gleichungen für die genannte Koordinate 
leicht zu sehen ist, verschwindet dann auch
. Die Bahnkurve bleibt also, wie in der Newtonschen Theorie, beständig in einer "Ebene" .
Die Koordinaten 
und 
sind zyklisch. Somit gelten zwei Erhaltungssätze, der Drehimpulssatz und der Energieerhaltungssatz
und
Um die Form der Bahnkurve r = r(
) zu erhalten, betrachten wir anstelle der vierten Gleichung für 
die Definitionsgleichung der Eigenzeit 
:
in der Form
(10a) 
(wobei wir schon die Anfangsbedingungen ausgenutzt haben).
Um schließlich die Bahnkurve zu erhalten, nutzen wir die beiden obigen Erhaltungssätze und substituieren u = 1/r.
So erhalten wir nach einfacher Rechnung
(10b) 
In der Newtonschen Theorie fehlt der in u nichtlineare Term, die Lösungen sind dort die Kegelschnitte
Für gewöhnliche Geschwindigkeiten liefert dieser nichtlineare Term nur eine sehr kleine Korrektur der Newtonschen Bahn. Im wesentlichen wird sich
"ein Teilchen, das sich in dem hier diskutierten Feld bewegt, ... also offenbar so verhalten, als ob es unter dem Einfluß einer Newtonschen Kraft stünde, die von einem materiellen Teilchen mit der Gravitationsmasse m im Ursprung ausgeht."
(so Sir Arthur S. Eddington, in: Relativitätstheorie in mathematischer Behandlung 1925, Seite 122)
Da nun 
/r << 1 ist (verhältnis schwarzschildradius zum abstand r), erhalten wir eine gute näherungslösung, wenn wir in den nichtlinearen term die newtonsche lösung einsetzen.
damit folgt schließlich
Die Lösung ist nicht mehr 2
-periodisch, ein Planet wird sich auf einer Rosette statt einer Newtonschen Ellipse um die Sonne bewegen. Dieser Effekt ist die Periheldrehung.
Setzen wir die beiden Erhaltungssätze (Drehimpulssatz umd Energiesatz) in die Definitionsgleichung der Eigenzeit in der Form (10a) ein, erhalten wir
Diese Gleichung hat die Form eines Energiesatzes für ein Teilchen der Masse m = 1 und der
Energie 
, das sich im effektiven Potential
(10c) 
bewegt.
Die beiden ersten Terme entsprechen gerade dem Newtonschen effektiven Potential
wobei wir 
eingesetzt haben (beachte: m = 1).
(vgl. Kapitel 4b: Bewegung in der Newtonschen Metrik)