Teil II: Flachland, Bemerkungen zu Kapitel 9
Der Rand eines Randes
Bei der Diskussion der geodätischen Abweichung haben wir die sechs gekrümmten Flächen der Raumzeit schon kennengelernt (vgl. Kapitel 7c: Geodäten und Gezeiten). Betrachten wir zum Beispiel die Zeit-Raum-Flächen, d.h. die Flächen mit den Koordinaten (t,x), (t,y) und (t,z).
Auf der (t,z)-Fläche weichen die Geodäten voneinander ab, auf den
Flächen (t,x) und (t,y) streben die Geodäten dagegen aufeinander zu.
Betrachten Sie hierzu einfach nochmals die Abbildung in Kapitel 7c
und denken Sie bei der Betrachtung der (t,z)-Fläche
an die Kugeln, die sich in der Zeit t entlang der z-Achse bewegen. Wir
fassten dort diese Beobachtung so zusammen, dass wir sagten, die
(t,z)-Fläche sei negativ gekrümmt, die beiden anderen Flächen positiv.
Diese zweidimensionalen Flächen bilden nun die Grenzflächen - also
den "Rand" - eines dreidimensionalen Würfels.
Summieren wir die Krümmungen dieser Flächen auf, so können wir
feststellen, dass diese sich gerade aufheben. Denn die negative
Krümmung der (t,z)-Fläche ist gerade doppelt so groß wie jeweils die positive Krümmung der beiden anderen Flächen.
Auf diese Weise können wir all die Würfel bilden, die das betrachtete vierdimensionale Raumzeit-Gebiet begrenzen. Und auch bei
diesen Würfeln stellen wir fest, dass sich die Krümmungen der Flächen dieser "Grenzwürfel" jeweils gerade auf null summieren.
Was wir auf diese Weise jeweils bilden, sind im Wesentlichen die erwähnten mittleren Krümmungen.
So weisen die mittleren Krümmungen auf den Rand eines Randes (d.h. auf die Flächen der Würfel des Raumzeit-Gebietes). Und
dieser Rand eines Randes "verschwindet" in den Raumzeit-Gebieten, die keine Massen umschließen (wo also auch der
Energieimpuls-Tensor verschwindet).
Physikalisch gesehen, ist das die ausgleichende Wirkung der Raumzeit
auf die eingeprägte Krümmung durch die Massen. Diese ausgleichende
Wirkung zeigt sich in den Gezeiten, die einen Körper verformen (aber
nicht sein Volumen verkleinern). Im Bild der Kräfte sind die
Gezeitenkräfte gerade so, dass sie sich in Summe aufheben.