Teil II: Flachland, Bemerkungen zu Kapitel 9

Die Feldgleichungen

In der Geschichte von Flachland wird das Gesetz der Krümmung in diese Form gebracht:

Genauer sollte aber auf der rechten Seite die Massenenergie stehen. Denn anders als in der älteren Newtonschen Theorie ist nicht allein die Masse des Körpers entscheidend. Unter Massenenergie verstehen wir alles, was zu der Energie des Körpers beiträgt.
Insbesondere meint dies zum Beispiel auch seine Bewegung, seine Rotation oder seine elektromagnetischen Felder. Die Gleichung lässt sich dann so interpretieren, dass die Energie eines Körpers auf die Raumzeit einwirkt.
Ja, selbst die gekrümmte Raumzeit besitzt (Massen-)Energie, was dazu führt, dass die gekrümmte Raumzeit selbst wieder Raumzeit krümmt (eine Selbstwechselwirkung der Gravitation).
Dieser so korrigierte Zusammenhang heißt Einsteinsche Feldgleichungen. Die Massenenergie wird in einer Größe zusammengefasst, die Energieimpuls-Tensor heißt.

Außerhalb von Massen, d.h. in Raumzeit-Gebieten, in denen der Energieimpuls-Tensor verschwindet, vereinfacht sich dieser Zusammenhang zu

Dieser spezielle Zusammenhang heißt auch Vakuum-Feldgleichungen.
Dieser beschreibt auch die Raumzeit-Gebiete, die wir in dieser Einführung betrachtet haben. Aus dieser Gleichung lässt sich die Metrik dieser Raumzeit-Gebiete bestimmen. 1916 bestimmte der Physiker Karl Schwarzschild (1873 - 1916) tatsächlich die Metrik eines solchen Raumzeit-Gebietes, wie sie zum Beispiel in unserem Sonnensystem gültig ist. Diese sogenannte Schwarzschild-Metrik ist also das, was man eine Lösung der Einsteinschen Vakuum-Feldgleichungen nennt. Bei ihr wird allerdings so etwas wie die Rotation oder die elektromagnetischen Felder nicht berücksichtigt (was für solche Durchschnittssysteme wie unsere Sonne auch reichlich genügt).

Achtung: Dass die mittlere Krümmung in einem Raumzeit-Gebiet null ist (wie ja die Vakuum-Feldgleichungen voraussetzen), heißt natürlich nicht, dass die Krümmung der Raumzeit dort überhaupt verschwindet. Die gekrümmte Raumzeit ruft ja gerade die Effekte der Gravitation hervor - gerade in den Gebieten mit verschwindender mittlerer Krümmung.

Die mittlere Krümmung wird in einem bestimmten mathematischen Verfahren aus der Krümmung der Raumzeit gewonnen, ein Verfahren, das - geometrisch gesehen - den Rand eines Randes bildet (wie es J. A. Wheeler ausdrückt). Physikalisch gesehen, zeigt sich darin die die Krümmung ausgleichende Wirkung der Raumzeit.

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