Teil II: Flachland, Bemerkungen zu Kapitel 7
Geodätische Präzession
Nehmen wir uns als Weg eines Körpers nun eine geschlossene Kurve. Der Körper habe dazu auch eine Orientierung, die er - da im freien Fall - auch beibehalten soll. Wir können uns zum Beispiel einen Satelliten vorstellen, der einen Kreiselkompass mit sich führt.
Der geometrische Hintergrund dieses Experimentes ist der
Paralleltransport eines Vektors längs einer geschlossenen Kurve. Führt
diese Kurve um ein gekrümmtes Gebiet, so ist der Paralleltransport
wegabhängig, d.h. am Ausgangspunkt angelangt, weist der Vektor einen
Unterschied in der Orientierung auf. (Der Vektor hat sich beim
Paralleltransport verdreht.)
Auch dieser Effekt führt zu einer Messvorschrift für die Krümmung. Und
entsprechend wie bei der geodätischen Abweichung gilt auch hier: Ist
die Krümmung null, ist auch der Paralleltransport eines Vektors
wegunabhängig (was für die Minkowski-Raumzeit zutrifft).
Wir können den orientierten Vektor physikalisch durch einen Kreiselkompass realisieren, der in einem Satelliten rund um die Erde kreist. Am Ausgangspunkt angekommen hat sich der Kreiselkompass um einen kleinen Winkel verdreht (statt die Richtung beizubehalten). Dieser Effekt heißt geodätische Präzession.
Wie können wir uns diesen Effekt veranschaulichen? Ziehen wir dazu das Kegelmodell heran, das sich unser Titelheld der Geschichte erdacht hat und das wir aus Papier nachbauen wollen.
Zunächst das noch flache Blatt Papier, die Kreisbahn des Satelliten mit
dem Kreiselkompass (erstes Bild) ... Aus der Stellung des
Kreiselkompass zur Kabine des Satelliten kann geschlossen werden, wann
der Satellit die Kreisbahn vollendet hat (A-E). Im Satelliten sieht es
so aus, als würde sich der Kreiselkompass einmal um seine Achse drehen
(oder?).
Nun das Blatt Papier, bei dem ein Stück übereinandergelegt wurde, um
einen Kegel bilden zu können (zweites Bild)... Bis der Kreiselkompass
die Stellung erreicht hat, wo er die Kreisbahn hätte vollenden sollen,
ist er ein Stück an der Bahn weiter gekommen (gerade das Stück, das am
Kegel überlappt) (A-E''). Anders ausgedrückt: Hat er die Kreisbahn
vollendet, fehlt noch ein Stück, um das er sich hätte - in bezug auf
die Kabine - drehen müssen (A-E').
Das ist das Phänomen der geodätischen Präzession.
Bei positiv gekrümmten Flächen (Kugeloberflächen) bleibt noch ein
Winkel offen, um den sich der Kreiselkompass hätte drehen müssen (eben
von A-E' nach A-E''), bei negativ gekrümmten Flächen
(Satteloberflächen) bleibt ein Winkel, um den sich der Kreiselkompass
weiterdreht.