Teil II: Flachland, Bemerkungen zu Kapitel 7

Geodätische Abweichung

Betrachten wir nochmals die beiden Geraden aus der Geschichte, die als Veranschaulichung von Geodäten auf den Prototypen-Flächen Kugel und Sattel dienen. Es kommt nun nicht darauf an, ob sich Geodäten tatsächlich einander annähern oder entfernen, sondern wie sie dies tun.

Die Geodäten laufen im Bild jeweils auseinander. Die damit beschriebenen Dreiecksflächen sind - von links nach rechts - negativ gekrümmt, nicht gekrümmt bzw. positiv gekrümmt.

Im Bild der Kräfte entspricht der geodätischen Abweichung eine Beschleunigung zweier Körper relativ zueinander, sie laufen eben entweder aufeinander zu oder voneinander weg.
Wie wir gesehen haben, lässt sich nun die beschleunigte Bewegung eines Körpers infolge der Schwerkraft durch Wechsel des Bezugssystems ausschalten. Die Relativbeschleunigung (der geodätischen Abweichung) dagegen lässt sich durch keinen Bezugssystemwechsel zum Verschwinden bringen. Sie verschwindet erst dann, wenn die Krümmung der Raumzeit ebenfalls null ist.
Damit eignet sich die geodätische Abweichung auch als Messverfahren für die Krümmung der Raumzeit.

Wir können für den Zusammenhang zwischen Krümmung und geodätischer Abweichung zweier Geodäten folgende Formel heranziehen:

Jeder Fläche können wir mit dieser Formel einen Krümmungswert zuweisen, der aus der Größe der geodätischen Abweichung folgt. Das Vorzeichen gibt uns die Art, d.h. den Typ der Krümmung an, der Zahlenwert deren Größe.
In der Minkowski-Raumzeit ist die Raumzeit-Krümmung null - und ebenso die geodätische Abweichung zweier beliebiger Geodäten.

Bemerkung: Man kann zeigen, dass Geodäten - also die Wege frei fallender Körper - die "geradesten" aller möglichen Wege sind. Weichen Geodäten aufgrund der Krümmung (der betrachteten Fläche bzw. Raumzeit) voneinander ab, so heißt dies nicht, dass dann die Geodäten in diesem Sinne nicht mehr gerade wären. Die Eigenschaft "Geradeste" zu sein, geht den Geodäten nicht verloren (höchstens verbirgt sie sich vor uns).
Frei fallende Körper fallen auf dem "geradesten" aller möglichen Wege durch die Raumzeit. Die Krümmung der Raumzeit bewirkt, dass diese "Geradesten" zum Beispiel um die Sonne herum führen. Und dass die geodätische Abweichung ungleich null ist.

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