Betrachten wir nochmals das Kegelmodell des Reisenden in unserer Geschichte. Wir wollen diesen Kegel durch unterschiedlich große, flache Kacheln auslegen. Am Fuß ist der Kegel nur leicht geschwungen, hier können wir die größeren Kacheln verwenden. Wo der Kegel stärker gekrümmt ist, müssen wir auf die kleineren Kacheln zurückgreifen. Dass wir ebene Kacheln verwenden können, um den Kegel auszukleiden, heißt natürlich nicht, dass der Kegel selbst eben ist. Der Kegel ist, so können wir sagen, lokal eben (d.h. im Kleinen).
Ähnlich ist es mit der Raumzeit:
Verfolgen wir das Gedankenexperiment des frei fallenden Fahrstuhls weiter. Natürlich dürfen wir das jetzt
wissen, dass wir Beobachter in einem frei fallenden Fahrstuhl sind. Wir suchen ja die Krümmung der Raumzeit
in dieser Kabine.
Zum Nachweis, dass die Raumzeit in der frei fallenden Kabine nicht gedehnt ist, lassen wir zwei Kugeln
nebeneinander schweben - nach dem Äquivalenzprinzip tun sie das auch!
Vergrößern wir jetzt aber die Kabine und zugleich den Abstand der beiden schwebenden Kugeln, so beobachten
wir folgendes: die Kugeln wandern langsam aufeinander zu.
Diese Beobachtung hätten wir auch außerhalb der Kabine machen können. Beim Fallen auf die Erde fallen die
Kugeln (und der Fahrstuhl) Richtung Erdmittelpunkt. Deshalb fallen die Kugeln auch aufeinander zu! (Und
ließe man sie weiterfallen, würden sie im Erdmittelpunkt aufeinander stoßen.)
In einer kleinen Kabine ist dieser Effekt einfach verschwindend klein, als dass er beobachtet werden könnte.
Anders ausgedrückt: In der frei fallenden Kabine gilt die Minkowski-Metrik, die metrischen Koeffizienten
können auf Konstanten zurückgeführt werden. Aber nur solange die Kabine hinreichend klein ist.
Man sagt
dazu auch: Die Raumzeit ist lokal euklidisch.
Krümmung ist die Eigenschaft der Raumzeit, tatsächlich gedehnt zu sein. Die Raumzeit hat aber ebenfalls die Eigenschaft, lokal euklidisch zu sein. Man könnte auch sagen, dass die Raumzeit keine Brüche und Kanten hat.