Teil II: Flachland, Bemerkungen zu Kapitel 4

Zusammenfassung: Riemannsche Metriken

Die vorgestellten Metriken werden unter dem Begriff der Riemannschen Metrik zusammengefasst.

Georg Friedrich Riemann (1826 - 1866) erarbeitete als Erster die geometrische Struktur einer vierdimensionalen, gedehnten Raumzeit heraus. Er erkannte dabei, dass dabei bis zu 10 verschiedene metrische Koeffizienten notwendig sind.
Die Geometrie der Raumzeit, ihre Maßbestimmung ist also allgemein durch die Riemannsche Metrik charakterisiert. Diese Metrik spezialisiert sich weitab von allen Himmelskörpern auf die Minkowski-Metrik.

In der Nähe von Himmelskörpern wie zum Beispiel der Erde und der Sonne ist die Raumzeit gedehnt. Die metrischen Koeffizienten beschreiben diese Dehnung. Eine spezielle Metrik dieser Art ist die Schwarzschild-Metrik.

Riemannsche Metrik allgemeine Form einer Metrik für die Raumzeit
Minkowski-Metrik gilt weitab von allen Himmelskörpern	Schwarzschild-Metrik Beispiel einer Metrik in der Nähe von Himmelskörpern

Der Vergleich der beiden speziellen Metriken in sphärischen Koordinaten macht es uns einfach, die Raumzeit-Dehnung zu erkennen. Offensichtlich vertreten die metrischen Koeffizienten unddiese Raumzeit-Dehnung. Diese metrischen Koeffizienten beschreiben damit die Gravitationsphänomene.

Allerdings ist der Sachverhalt nun doch nicht so einfach, dass wir stets eine Raumzeit-Dehnung an den metrischen Koeffizienten ablesen könnten.
Wir können dies schon an dem einfachen Fall der Minkowski-Metrik verstehen. Betrachten wir diese zunächst in ihrer einfachsten Form, d.h. in kartesischen Koordinaten:

(1)

Die metrischen Koeffizienten haben hier konstante Werte (+/- 1). In diesem "umgekehrten" Fall ist die Sachlage eindeutig: Immer wenn die Metrik nur konstante metrische Koeffizienten aufweist, ist die Raumzeit ungedehnt.
Umgekehrt gilt dies auch: Immer wenn die Raumzeit nicht gedehnt ist, können wir eine Metrik wie die Minkowski-Metrik aufstellen (also mit konstanten Werten).

Betrachten wir nun die Metrik:

(2)

Ist die Raumzeit, die damit beschrieben wird, gedehnt oder nicht?

Nun, wir wissen, dass es sich wieder um die Minkowski-Metrik handelt, dieses Mal einfach in sphärischen Koordinaten. Damit kommen wir natürlich einfach durch Wechsel des Koordinatensystems von (2) zu (1). Ein solcher Wechsel des Koordinatensystems beeinflusst die Raumzeit selbst natürlich nicht, die Raumzeit ist ungedehnt.

Stellen wir uns vor, wir hätten eine Metrik vorliegen, von der wir nicht wissen, ob und wie sie auf die Form (1) transformiert werden kann. Einfach, weil die metrischen Koeffizienten zu komplex aufgebaut sind. Wir brauchen eine Größe, an der wir die Raumzeit-Dehnung direkt ablesen können: diese Größe ist die sogenannte "Krümmung".

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