Teil II: Flachland, Bemerkungen zu Kapitel 4

Näheres zur Schwarzschild-Metrik

Das Nützliche an den sphärischen Koordinaten ist, dass es berücksichtigt, dass die Dehnung vom Raum und Zeit nur vom Abstand zum Himmelskörper abhängt (genauer vom Abstand zu dessen Mittelpunkt). Dies wird in diesen Koordinaten in doppelter Weise berücksichtigt:

  1. Im sphärischen Koordinatensystem genügen zwei metrische Koeffizienten, die diese Raumzeit-Dehnung beschreiben.
  2. Diese metrischen Koeffizienten sind zudem nur Funktionen der r-Koordinate (beschreibt ja den Abstand zum Mittelpunkt).

Der einfache Aufbau der Schwarzschild-Metrik erlaubt nun den Vergleich mit den Maßfaktoren aus der Geschichte "Luki, der Sternenforscher" (vgl. die dortigen Bemerkungen "Berechnung des Maßfaktors").

Dort hatten wir den Maßfaktor der Zeit hergeleitet: Mit gilt nun der Zusammenhang:

mit der Gravitationskonstanten , der Masse m des Himmelskörpers und dem Abstand r von seinem Mittelpunkt.
Den letzten Summanden können wir vernachlässigen, da er außerordentlich klein ist. Es bleibt also:

Wie wir gefordert haben, istnur eine Funktion von r.

Für den metrischen Koeffizientensoll hier nur das Ergebnis angeführt werden:


DieSchwarzschild-Metrik lautet damit in Gänze:

wobei wir gesetzt haben:

heißt auch Schwarzschild-Radius ("Radius", weil er dieselbe Maßeinheit einer Länge wie r hat).
Der Schwarzschild-Radius ist ein charakteristisches Maß für den Himmelskörper, der die Raumzeit dehnt (und damit Mittelpunkt unserer Betrachtung und unseres Koordinatensystems ist). Denn außer den (Natur-)Konstanten und c geht in die Bestimmungsgleichung nur die Masse m des Himmelskörpers ein. Man nennt deshalb auch die Gravitationsmasse des Himmelskörpers.
Einige Werte für haben wir schon in der Geschichte von "Luki, dem Sternenforscher" aufgeführt. Ein Himmelskörper, dessen Radius gerade so groß wie sein Schwarzschild-Radius ist, ist ein Schwarzes Loch (vgl. die dortigen Bemerkungen "Einige Werte").

Zum Abschluss dieser Bemerkungen wollen wir die Schwarzschild-Metrik "vollständig" aufschreiben, ohne die "dw"-Abkürzung:

mit den Koordinaten t, r, und und dem Schwarzschild-Radius .
Die metrischen Koeffizienten lauten also:

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Die Allgemeine Relativitätstheorie, leicht verständlich erzählt - © Martin Kornelius 2016