Teil II: Flachland, Bemerkungen zu Kapitel 2

Historische Zusammenhänge

(vgl. für das Folgende: Schwinger, Julian: Einsteins Erbe. Die Einheit von Raum und Zeit. Heidelberg, 1987)

Euklid, der "Vater der Geometrie", fasste das geometrische Wissen und den Erfahrungsschatz seiner Zeit zusammen und formte daraus ein mathematisches System. Seine Lehrsammlung "Die Elemente" war Grundlage für die Mathematikausbildung bis in die Neuzeit hinein.
Die Geometrie, die auf seiner Lehre beruht, heißt Euklidische Geometrie. Charakteristisch für diese Geometrie ist, dass zum Beispiel die Winkelsumme eines Dreiecks 180 Grad beträgt, der Umfang eines Kreises dem -fachen des Durchmessers entspricht (oder dem 2 -fachen des Radius) oder dass sich Parallelen nicht schneiden.
Auch die Weltebene der Flachländer ist, bis auf das mysteriöse Gebiet der MAUER, von Euklidischer Geometrie.

Im ersten Buch der "Elemente" Euklids findet sich als 47. Lehrsatz der Satz des Pythagoras. Die Erkenntnis, dass die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ein ganz bestimmtes Verhältnis zueinander haben, ist viel älter als Pythagoras.

Schon in der ägyptischen Kultur wurde sie als Hilfe zur Landvermessung benutzt:
Nehmen wir ein Seil mit 13 Knoten, die in gleichen Abständen geknüpft sind. Durch den ersten und vierten schlagen wir einen Pflock in die Erde. Einen weiteren Pflock stecken wir durch den achten Knoten, den Endknoten wieder über den ersten.
Wenn wir das Seil jetzt spannen, bildet sich am vierten Knoten ein rechter Winkel; die Seiten stehen im Verhältnis 3 : 4 : 5.

Der Satz des Pythagoras besagt nun, dass die Summe der Quadrate über den Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist, hier also: 5² = 3² + 4².

Descartes fasste 1637 die Geometrie unter einer neuen Methode zusammen. Raum-Zeit-Diagramme zur Darstellung von Bewegung wurden schon seit dem Mittelalter benutzt. Descartes führte nun Koordinaten ein, das heißt Zahlen, um diese zu beschreiben. Geometrisch dargestellte Bewegung konnte nun auch analytisch, das heißt mit mathematischen Gleichungen, beschrieben werden.
Descartes, so wird erzählt, beobachtete im Bett liegend eine Fliege, die in einer Zimmerecke umherflog. Er erkannte, dass er die Position der Fliege jederzeit durch die Abstände zu den rechtwinklig aneinandergrenzenden Wänden und die Decke angeben konnte. Er stellte sich ein Koordinatensystem mit drei senkrecht aufeinanderstehenden Koordinatenlinien vor. Für jeden Ort der Fliege musste er drei Koordinaten, also drei Zahlenwerte, angeben. Solche rechtwinkligen Koordinaten heißen nach ihrem Entdecker kartesische Koordinaten.
Descartes führte als Bezeichnung für die Koordinatenlinien auch die Buchstaben x, y und z ein.

Die Abstandformel verknüpft kartesische Koordinaten und Euklidische Geometrie. Wann immer wir die Abstandformel mit kartesischen Koordinaten bilden können, ist die Euklidische Geometrie gültig. Umgekehrt ist dies auch richtig: Wenn Euklidische Geometrie vorliegt, können wir die Abstandformel auf diese Weise bilden.

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