Mathematischer Anhang
Kapitel 4: Newtonsche Metrik
Metriken für die Raumzeit
Auch für die Newtonsche Lösung (also der Newtonschen Gravitationstheorie) läßt sich eine Metrik angeben. Ausgehend von der Schwarzschild-Metrik stellt sich auch die Newtonsche Lösung sehr einfach dar:
(11) 
mit dem Schwarzschildradius 
.
Analog zur Schwarzschild-Lösung ist dies die Metrik außerhalb einer ungeladenen, nicht rotierenden Materieansammlung, die ebenfalls in großer Ferne in die Minkowski-Metrik übergeht. Anders als die Schwarzschild-Lösung berücksichtigt
die Newtonsche Lösung aber nur die Effekte der Newtonschen Gravitationstheorie.
Realiter bedeutet dies zum Beispiel nur die Hälfte der Ablenkung des Lichtes an der Sonne gegenüber der Ablenkung der Schwarzschild-Lösung
(und gegenüber den gemessenen Werten!) oder eine Perihelverschiebung, der gerade der Anteil fehlt, die erst Einstein erklären konnte.
Die Newtonsche Metrik erlaubt die interessante Interpretation, daß die Newtonsche Gravitationstheorie allein auf der Krümmung der Zeit beruht. Angesichts der Erfolge der Newtonschen Theorie sind dies auch offensichtlich die "großen" Effekte der Raumzeit-Krümmung in unserem Sonnensystem. Wohingegen die Krümmung des Raumes in dieser Metrik nicht berücksichtigt ist und auch "nur" eine zusätzliche Korrektur darstellt.
Oder wie es Eddington ausdrückt:
"Man kann also sagen, daß das Newtonsche Gravitationsgesetz im nichteuklidischen Charakter der Verbindung von Raum und Zeit seinen Ursprung hat, während bei der Ablenkung von Lichtstrahlen sich auch der nichteuklidische Charakter des Raumes allein äußert."
(Eddington, Arthur Stanley: Relativitätstheorie in mathematischer Behandlung. Berlin: Springer, 1925)
Die wesentliche Komponente des metrischen Tensors ist also
Alle anderen Komponenten des metrischen Tensors 
verschwinden.
Die Christoffelsymbole der Newtonschen Näherung
,
alle anderen 
verschwinden.
erhalten wir aus dem Vergleich der Bewegungsgleichungen der Newtonschen Theorie
(mit dem Newtonschen Gravitationspotential 
)
mit der Geodätengleichung (wobei 
= dt gesetzt wurde)
(2) 
In dieser Schreibweise beschreiben die Bewegungsgleichungen Bahnkurven als Geodäten in einer gekrümmten Raumzeit. Die Christoffelsymbole
vertreten die Newtonsche Gravitationsfeldstärke.
Insbesondere gilt für das zentralsymmetrische Gravitationspotential 
in Kugelkoordinaten:
alle anderen verschwinden
Die Komponenten des Riemannschen Krümmungstensors (4) sind gegeben durch
,
alle anderen 
verschwinden.
Insbesondere lauten die Komponenten für das kugelsymmetrische Newtonsche Gravitationspotential in den rechtwinkligen Koordinaten (x, y, z):
wobei 
, mit dem Schwarzschildradius 
.
Der Riemannsche Krümmungstensor beschreibt also im wesentlichen die Newtonschen Gezeitenkräfte. Oder umgekehrt, die Gezeitenkräfte weisen auf die tieferliegende Eigenschaft der Raumzeit hin, nämlich auf ihre Krümmung.
Schließlich lassen sich die Einsteinschen Feldgleichungen (5) in der Newtonschen Näherung auf die Newtonschen Feldgleichungen zurückführen.
Aus den Einsteinschen Feldgleichungen folgt durch Spurbildung die alternative Form
Setzen wir nun in guter Näherung 
und berücksichtigen ferner, daß in der Newtonschen Näherung die Energiedichte
die wesentliche Komponente des Energie-Impuls-Tensors ist, so bleibt von den 10 Gleichungen nur
Bilden wir nun andererseits 
aus der Definitionsgleichung
und setzen die Feldgleichungen der Newtonschen Gravitationstheorie ein, so folgt
Mit der Einsteinschen Konstanten
gehen die Einsteinschen Feldgleichungen der Newtonschen Näherung und die Feldgleichungen der Newtonschen Gravitationstheorie ineinander über.