Teil II: Flachland, Bemerkungen zu Kapitel 4

Maßfaktoren haben wir in der Geschichte um "Luki, dem Sternenforscher", eingeführt, um Diskrepanzen in der zeitlichen oder räumlichen Messung zu beschreiben.
Der Maßfaktor der Zeit beschreibt die gedehnte Zeit in der Nähe eines Himmelskörpers im Vergleich zu einer Standardzeit (vgl. die dortigen Bemerkungen "Maßfaktoren"). Der Maßfaktor des Raumes entsprechend den gedehnten räumlichen Abstand gegenüber einem Standardabstand (vgl. die dortigen Bemerkungen "Der Maßfaktor des Raumes").

Die metrischen Koeffizienten, die wir in Flachland eingeführt haben, beschreiben ebenfalls Diskrepanzen - und zwar zwischen den Koordinatenabständen (man könnte sagen, dem erwarteten Abstand) und dem tatsächlich gemessenen Abstand.
Allerdings treten die Koordinatenabstände quadratisch in der Abstandformel auf, während die Maßfaktoren in einer "einfachen" Formel vorkommen. Das ist auch schon der eigentliche Unterschied zwischen metrischen Koeffizienten und den Maßfaktoren. Im Wesentlichen gilt tatsächlich:

metrischer Koeffizient = (Maßfaktor)²

Zur Verdeutlichung betrachten wir zunächst eine reine Zeitmessung.
In der Sprache der Maßfaktoren: An einem Ort A innerhalb gedehnter Raumzeit werde der Zeitraum T(A) gemessen. Dann gilt für die Beziehung zu einer Standardzeit T:

T(A) = Mf(A) · T

Berücksichtigen wir, dass wir nur sehr kleine Zeiträume messen wollen und führen wir hier wieder die dafür schon verwendete "d-Symbolik" ein:

(1) dT(A) = Mf(A) · dT

Nun in der Sprache der Metrik: Betrachten wir eine Uhr, die bezüglich des gewählten Koordinatensystems ruht, und als Ereignisse A und B, deren Raumzeit-Intervall wir berechnen wollen, das Ablesen dieser Uhr zu 2 verschiedenen Zeitpunkten. Dann fallen die räumlichen Koordinatendifferenzen weg (Uhr ruht!). Berücksichtigen wir nun noch den metrischen Zeit-Koeffizienten, dann erhalten wir für den vier-dimensionalen Abstand (das Raumzeit-Intervall) ds:

Damit die beiden Gleichungen direkt verglichen werden können, wandeln wir das Raumzeit-Intervall in die Eigenzeit dieser Uhr um:

(2)

Die Eigenzeit wird gewöhnlich mit dem griechischen bezeichnet, um sie von der (beliebigen) Koordinatenzeit t abzusetzen.
Anmerkung: die Zeitkoordinate dt ist - wie beschrieben in den Bemerkungen zu "Luki, dem Sternenforscher" - in eine neue Koordinate c·dt umgewandelt, damit sie im Raumzeit-Intervall angeführt werden kann (vgl. die dortigen Bemerkungen "Bezugssystem und Eigenzeit")

Nun erkennen wir den Zusammenhang:
Die tatsächlich gemessene Zeit dT(A) an dem Ort A in Formel (1) entspricht der Eigenzeit einer Uhr, die an diesem Ort ruht, in Formel (2). Die Standardzeit dT in (1) können wir als eine Koordinatenzeit verwenden, um das Koordinatensystem für (2) aufzuspannen (was der Held unserer Geschichte in gewisser Weise ja auch tut, da er Koordinaten verwendet, die für ungedehnte Gegenden entwickelt wurden). Es gilt also:

Die Betrachtung für die räumliche Messung ist schwieriger, da in der Metrik die Raumrichtungen (3 Dimensionen) einzeln angeführt werden, in der Sprache der Maßfaktoren dagegen pauschal vom Abstand gesprochen wird.
Um beides vergleichen zu können, benötigen ein nützliches Koordinatensystem, das die Problemstellung vereinfacht. Es ist das sphärische Koordinatensystem, wie wir sehen werden.