Teil II: Flachland, Bemerkungen zu Kapitel 4

Metrik ist tatsächlich der zentrale Begriff der neuen Theorie.
Denn Metrik bestimmt den Raum bzw. die Raumzeit vollständig. (Genauer gesagt, nur je lokal vollständig, da wir vorsichtigerweise z.B. nicht annehmen, dass unser gewähltes Koordinatensystem für den gesamten Raum gültig ist). Mit der Metrik lassen sich die Wesentlichen geo-metrischen Größen berechnen.

"Metrik definiert Geometrie."
(Wheeler, John Archibald: Gravitation und Raumzeit. Die vierdimensionale Ereigniswelt der Relativitätstheorie, Heidelberg: Spektrum-der-Wissenschaft-Verlagsgesellschaft, 1991, Seite 168)

Was ist Metrik?
Metrik ist der formelartige Zusammenhang zwischen dem tatsächlichen, messbaren Abstand ds und den Koordinatendifferenzen dx, dy ... eines gewählten Koordinatensystems.

Der Reisende führt in der Geschichte eine spezielle Form von Metrik an. Die allgemeine Form einer Metrik lautet:

Die Buchstaben a und b zählen einfach alle möglichen Komponenten durch, die dann schließlich zusammengezählt werden. Diese Komponenten bestehen aus den metrischen Koeffizienten und den Koordinatenabständen .

Wir wollen diese allgemeine Form mit Leben füllen - durch den Vergleich mit einer Metrik, die wir schon kennengelernt haben: die Metrik einer zweidimensionalen Fläche, in der die euklidische Geometrie gültig ist.
Zunächst aber: Bei zwei Dimensionen zählen a und b nur bis 2, die allgemeine Form der Metrik lautet also:


Tatsächlich gilt immer, dass = ist (hier: = ). Man sagt dazu auch, die seien symmetrisch in den a,b. Also (jetzt steht außerhalb der Klammer jeweils die 2. Potenz!):


Zum Vergleich mit dieser allgemeinen Form schreiben wir die aus Kapitel 2 bekannte Abstandformel "ausführlich": Die metrischen Koeffizienten sind also:


(symmetrisch!)

Diese spezielle Metrik können wir auch euklidische Metrik nennen. Denn auch von ihr gilt das schon zuvor Gesagte: Wann immer wir diese Metrik bilden können, ist die euklidische Geometrie gültig, und umgekehrt. Der Raum, der damit beschrieben wird, ist dann ebenfalls euklidisch. (Zum Pendant für die Raumzeit kommen wir noch.)

Bevor wir Metriken für die Raumzeit bestimmen, zunächst ein Blick auf das Verhältnis von metrischen Koeffizienten und den Maßfaktoren, die wir in der Geschichte um "Luki, dem Sternenforscher" verwendet haben.